jueves, 26 de diciembre de 2013

Reptiles II

Teselaciones. Reptiles de Escher.
Ahora un poco de interactividad...


Otra imagen enriquecida con interactividad a través de tu dispositivo móvil con Layar. Haz clic en la imagen para verla más grande y escanea con Layar.


Nota: La escena está construida en html con la versión gratuita del programa de Adobe: Edge Animate

lunes, 16 de diciembre de 2013

Sólidos Truncados

A partir de los sólidos regulares o sólidos platónicos, "truncamos" las esquinas para construir otros sólidos. El truncamiento puede ser por el punto medio de las aristas, o bien por un tercio. Los siete primeros sólidos serán arquimedianos por ser sus caras polígonos regulares, no así los siguientes, pues obtenemos caras que no son regulares.



Para ver en RA en Layar o en Aurasma (en este canal) :

clic en la imagen



En Realidad Aumentada, para poder manejar los sólidos en el móvil
  • Descarga en tu móvil la aplicación AugmentIOS, Android.
  • Haz clic en los siguientes enlaces: (una vez descargado el objeto 3D, lo mejor es buscar alguna fotografía y crear un marcador)
Primer nivel, arquimedianos:

Segundo nivel, No arquimedianos:


viernes, 13 de diciembre de 2013

Sólidos Platónicos

Otro vídeo para mostrar en clase de geometría. También podéis verlo en Realidad Aumentada con Layar o con Aurasma ( si sigues el canal )


La imagen que sirve de marcador y que puedes imprimir para tu aula :-))


(clic para aumentar)

Nota: Estos materiales, y todos los de mi elaboración propia que podéis encontrar en este blog son de licencia cc


Reconocimiento – NoComercial – CompartirIgual (by-nc-sa): No se permite un uso comercial de la obra original ni de las posibles obras derivadas, la distribución de las cuales se debe hacer con una licencia igual a la que regula la obra original.

miércoles, 11 de diciembre de 2013

Markus Hohenwarter

Es un placer escuchar a Markus, creador de Geogebra.  Esta es la conferencia que dio en Buenos Aires para IBERTIC, Instituto Iberoamericano de TIC y Educación.

jueves, 5 de diciembre de 2013

Un minuto con Escher

Bailando un vals...




Podéis verlo en Realidad Aumentada, con un smartphone con IOS o Android 4+.
Aplicaciones gratuitas para descargar:
Aurasma (tendrás que seguir mi canal)
Layar

Y enfocar con cualquiera de ellas la imagen de estas preciosas mariposas de Escher... Estoy pensando en decorar mi futura clase de mates ;-)


Mejor si haces clic en la imagen, la verás más grande...
Descargar en pdf

miércoles, 20 de noviembre de 2013

Derechos de los niños

Hoy se celebra el Día Universal del Niño, ya que fue un 20 de noviembre de 1959 cuando los 78 países que formaban la ONU, aprobaron el tratado internacional.

Yo he querido celebrar esta fecha con unos derechos muy particulares, los derechos en mi aula de matemáticas.




Imágenes de dominio público en http://pixabay.com/
Música: Josh Woodward - Are You Having Fun en http://www.jamendo.com/es/

Esta entrada participa en la edición 4.12310562 del Carnaval de Matemáticas, cuyo blog anfitrión es ::ZTFNews.

miércoles, 9 de octubre de 2013

Dividir un cuadrado



Nota: Estoy probando algunas aplicaciones para utilizar el Ipad en clase, una de ellas es geogebra que ya podemos instalarla en tabletas tanto de Windows, como de Android, como de IOS, aunque la versión de escritorio es mucho más potente, me encanta tener geogebra en mi Ipad. Este vídeo lo he realizado con una aplicación muy sencillita que me han recomendado las #guappis para contar historias a partir de nuestras fotografías. Se llama Shadow Puppet 

viernes, 27 de septiembre de 2013

Dos circunferencias en un cubo

Cuando nos plantean un problema en clase de matemáticas, casi siempre existen diversas maneras de resolverlo. El álgebra nos permite resolver muchos de ellos de manera casi mecánica, aplicando algoritmos que nos dan una solución exacta y bien definida, sin embargo cuando utilizamos la geometría básica y el razonamiento, la elegancia se hace presente.

Vamos a poner un ejemplo, un problema que me gustó mucho cuando nos lo contó Francisco Bellot. Pertenece a una de las colecciones de problemas escolares rusos. Este en particular lo podéis encontrar referenciado en Shifman (Ed.): You failed your math test, Comraide Einstein.World Scientific, 2005.  Aquí Ian Vardi, nos hace un estudio de los llamados "killer problems" [A. Shen, Entrance Examinations to the Mekh-mat, Mathematical Intelligencer 16 (1994), 6-10], que describen la discriminación que tenían los estudiantes judios en las pruebas de acceso a la facultad de matemáticas en Rusia, entre los años 1970 y 1980. Ian Vardi nos muestra 25 "killer problems" , este hace el número 21 (Smurov, Balsanov, 1986):

Una circunferencia está inscrita en la cara de un cubo de lado a, otra circunferencia circunscrita en la cara contigua. Encuentre la distancia mínima entre los puntos de las circunferencias.
La solución algebraica que nos expone Ian Vardi consiste en parametrizar convenientemente las dos circunferencias en un sistema de coordenadas con origen en el centro del cubo, al calcular la distancia entre dos puntos cualesquiera obtenemos una función en dos variables, basta entonces con calcular el mínimo de esta función. 
La gran mayoría de los alumnos que ingresan el primer año en la facultad de matemáticas, es decir, nuestros alumnos de segundo de bachillerato no serían capaces de resolver este problema algebraicamente. Sin embargo desde un punto de vista geométrico, la resolución es mucho más elemental.
Si observamos las dos esferas concéntricas con centro en el centro del cubo y que contienen a cada circunferencia, es evidente que la distancia buscada no puede ser menor que la distancia entre las dos esferas, es decir la diferencia de radios. 

Es más, si existiera un radio (de la esfera mayor) que cortara a las dos circunferencias, la mínima distancia sería alcanzada en esos dos puntos.
Vamos pues a dibujar esos puntos y demostremos que existen. Consideremos todos los posibles radios que salen del centro y pasan por la circunferencia inscrita ¿Qué tenemos?...Sí, un precioso cono. Ahora cortemos ese cono con el plano que contiene la circunferencia circunscrita. ¿Qué tenemos?...(esto les cuesta más a los alumnos, pero si ya han estudiado las hipérbolas entonces lo ven más fácilmente). Esa rama hiperbólica cortará a la circunferencia circunscrita en dos puntos ( cualquiera nos sirve) dibujemos uno de ellos.
Nota: Si hubiésemos colocado un sistema de referencia con el origen en el centro del cubo, podríamos calcular las ecuaciones algebraicas de todos estos objetos geométricos y ya tendríamos la solución, sin embargo hemos dicho que íbamos a resolverlo de manera geométrica, entonces nada de ecuaciones ;-), aunque sería una forma diferente de llegar a la misma solución que la vista anteriormente, sin utilizar la parametrización ni el cálculo del mínimo en una función de dos variables.


Consideremos los ángulos siguientes: ( el tiedro formado por el radio que hemos dibujado y los radios que unen el centro del cubo con los centros de las dos circunferencias)


Observemos que O1OO2=90º, O1OB=45º, AOO2=α=arctan√2  

Cada uno de estos ángulos es menor que la suma de los otros dos, y la suma de los tres es menor que 360º. Estas son condiciones necesarias y suficientes para que exista un triedro de vértice O, cuyos ángulos de las caras sean los tres ángulos marcados. Esto significa que los puntos O, A y B están efectivamente alineados (en la arista común a los dos últimos ángulos del triedro).
Entonces la distancia AB = a (√3-√2) (Diferencia de los radios de las esferas, se calculan fácilmente aplicando Pitágoras a los triángulos rectángulos que forman con los centros de las caras)
Si tomamos otros dos puntos, M y N, en las dos circunferencias, considerando el triángulo OMN, la desigualdad triangular garantiza que la distancia MN es mayor que la diferencia OM-ON, que vale precisamente a (√3-√2), c.q.d.

Las imágenes están tomadas de la versión beta de geogebra 5, en su vista 3D.

Esta entrada participa en la Edición 4.123105 del Carnaval de Matemáticas que organiza en esta ocasión David Orden en su blog Cifras y Teclas.




lunes, 1 de julio de 2013

viernes, 28 de junio de 2013

Adivina la serie

Uno de esos juegos que me entretenían muchísimo de pequeña. Hoy se lo regalo a mi peque y espero que disfrute de él tanto como hice yo.




Página del proyecto

viernes, 21 de junio de 2013

Numbers Racing

Otro jueguecito... ¿qué hemos aprendido haciéndolo?...Entre otras muchas competencias:

  • Coordenadas cartesianas
  • Ecuación de la recta
  • Haces de rectas
  • Proporcionalidad inversa

Y por supuesto operaciones con números enteros. Orden de operaciones




  Página del proyecto

Con esta segunda entrada participo en el 4,12310 edición del carnaval de matemáticas  cuyo blog anfitrión es geometríadinámica

miércoles, 19 de junio de 2013

El Zampaprimos

Así se llama el monstruito de un nuevo juego que he realizado en Scratch, dentro del taller creativo on-line Creative Computing  #CCOW. Estoy descubriendo nuevas formas de aprender y nuevas formas de enseñar. Me encanta Scratch en mi clase de matemáticas.
La tarea no consiste en jugar (que también...) consiste en que sean los alumnos los que creen un juego.
El objetivo: desarrollar la creatividad de los niños junto con el razonamiento lógico a la vez que aprenden contenidos matemáticos.




Y ya que estamos de carnaval, con esta entrada participo en el 4,12310 edición del carnaval de matemáticas  cuyo estupendísimo blog anfitrión es geometríadinámica

lunes, 10 de junio de 2013

Simetrías en Scratch


Podéis ver el código del proyecto en http://scratch.mit.edu/projects/10747466/

Rotación o giro desde el origen de ángulo

 

Reflexión respecto de una recta que pasa por el origen y forma con el eje 0X un ángulo

lunes, 29 de abril de 2013

Hablando de matemáticas

No tengo por más que traerlo a este rinconcito... cuánta razón y qué sencillas son las cosas cuando no las complicamos. ¿Por qué se empeñan algunos en no enseñar a razonar?... con lo bonitas que son las clases de matemáticas y lo fastidiosas que pueden llegar a ser si no entendemos lo que hacemos...


martes, 23 de abril de 2013

Reto con cuadrados

Hoy quiero destacar un blog con juegos y pasatiempos para la clase de matemáticas.
http://anagarciaazcarate.wordpress.com/


Los chicos de 1ºB, que están empezando a plantear ecuaciones de primer grado para resolver problemas se han ido a casa con el siguiente enunciado sacado de este blog. Para ayudar a los chicos he realizado este pequeño archivo en geogebra. (compartido en GeogebraTube para su descarga o incrustación).

jueves, 21 de marzo de 2013

Representación gráfica

Hoy no podía dejar pasar el día sin una poesía...Para Isabel.

Representación gráfica...
¿Por dónde empezar?
si lo piensas bien
es lógico estudiar
la existencia, en primer lugar
¿Dónde existe mi función?
será el punto de partida
en esta representación.
Intervalo de la recta
dónde está bien definida
dónde f(x) es real,
Dominio llamaremos
a este conjunto especial.

En todos los polinomios
es muy fácil de apreciar,
 todo el conjunto es real,
pero si un cociente aparece, 
una fracción no más,
mucho cuidado tendrás:
todos los ceros del denominador
del conjunto hay que sacar.
Y si una raíz aparece
la inecuación resolverás
todos los negativos
excluidos estarán,
igualmente el logaritmo
de esta forma tratarás.
Hasta aquí nuestro dominio
¿Por dónde continuar?

El corte con los ejes
lo más fácil de hallar
una de las coordenadas
tenemos que anular
si lo hacemos con la x
enseguida la y tendrás
y en el eje de ordenadas
ese punto pintarás
más si es en las abscisas
lo que quieres calcular
es la y la que se anula
y la ecuación resolverás
dependerá de la función
salvar esta dificultad
y unas veces tendrás cortes
y otras veces no tendrás
pues aunque siempre
existe solución
a veces no es real
las raíces negativas,
por ejemplo,
en el cuerpo complejo están
lo que nos indica
que en ese punto,
la gráfica no cortará
con el eje de las abscisas
y encima o debajo quedará.

Seguimos con las simetrías
que si las hay, nos permiten
más rápidamente dibujar
pues solo la mitad de la tabla
tendremos que calcular
Si existe simetría
respecto al eje vertical
a la función la llamaremos par
y en este caso se verificará
que para todo valor absoluto
la misma imagen tendrá
al aplicar la función
lo mismo me da
positivo o negativo
el mismo valor tendrán.
Y si la simetría
es del origen central
impar la llamaremos
a nuestra función singular
y solo el valor positivo
tendremos que calcular
pues si existe el punto (x, f(x))
basta los opuestos tomar -x, -f(x)
para la gráfica continuar

Y ya no te lío más
dejemos para mañana
los límites, los máximos
y alguna cosilla más,
si crece, si decrece
si asíntota tendrá,
repasa las derivadas
y el teorema de Lagrange.
Mañana nos vemos de nuevo
para la gráfica dibujar.


Por Dnu72

Esta entrada participa en la Edición 4.12 del Carnaval de Matemáticas cuyo blog anfitrión es High Ability Dimension


miércoles, 20 de marzo de 2013

Las sumas de Alicia

Dizebi - Niña estudiando por Gonzalo Iza
Alicia está terminando su página de cuentas cuando Adrián entra sin hacer ruido en el salón colocándose justo detrás de su hermana. La observa. Alicia ha aprendido mucho en poco tiempo, ya sabe dividir por dos cifras...y lo hace muy bien!
- Hola pequeñina!
Alicia sorprendida gira el rostro y sonríe. Saluda a su hermano que se sienta en la mesa a su lado.
-Ya estoy acabando, solo me queda una suma...
-Estupendo Alicia, cuando acabes nos vamos.
-No entiendo por qué tenemos que hacer tantas cuentas...cuando sea mayor como tú utilizaré la calculadora y no perderé tanto tiempo en estas cosas inútiles.
-¿Inútiles?..¿Crees que es inútil aprender a sumar?
-Bueno...no, a veces tengo que sumar números. Con mama adivino la vuelta de la compra, también cuento días cuando nos vamos y caramelos cuando es mi cumple y los reparto en el cole...
-¿Cuántas muñecas tienes Alicia?
-Tengo 14
-¿Podrías saberlo si no supieras sumar?. Imagínate un mundo sin poder contar.
-Ufff, sería un lío tremendo...




-Y dime Adrián...¿esos cálculos tan complicados? ¿Tú sabes hacerlos como la calculadora? ¿Cómo funcionan las calculadoras?

-Bueno, en realidad la calculadora sabe lo mismo que tú, aunque lo hace mucho más rápido, solo sabe hacer sumas, restas, multiplicaciones, divisiones... Antes se usaban tablas para calcular logaritmos, senos y cosenos o funciones exponenciales que es lo que tengo que calcular yo, pero llegó Taylor y nos hizo un gran regalo a todos con sus aproximaciones polinómicas que no son más que sumas y productos.
A partir de 1960 se empezó a utilizar algo todavía más sencillo para las calculadoras, el algoritmo CORDIC. Una sencilla y genial idea de Jack E. Volder...pero todo eso lo irás descubriendo poco a poco pequeñina.

-Terminé mi suma!! vámonos hermanito!!

Esta entrada participa en la Edición 4.12 del Carnaval de Matemáticas cuyo blog anfitrión es High Ability Dimension


jueves, 14 de marzo de 2013

Feliz día de PI

En el mundo de los Irracionales se libra una batalla...

Una lucha encarnizada. Mientras, el resto del mundo observa y opina...




Los irracionales expectantes hacen sus apuestas al ganador...


Pero hay alguien que lo tiene claro...


martes, 19 de febrero de 2013

Pinta un eje

Tres añitos ha cumplido
en febrero, el carnaval,
tres tirones de orejitas
a nuestro querido "papa".
No te enfades @eliatron
si te nombro en este verso
pues lo merece la ocasión.

Y con estas empezamos 
en esta tu cuarta (punto una) edición.

Hoy vengo de los Maristas
y de cónicas he oído hablar
@chonchamp las lleva al aula
de una manera especial.
Ella disfruta con esto
y a mi me sirve de inspiración
cortando con un plano
superficies de revolución.

Pero vamos más despacio
pues el peque de la casa
se ha alterado al escuchar
y curioso se me acerca
 viene corriendo a mirar.
Sorprendido se ha quedado
esperábase encontrar
tanques, buques...¡qué se yo!
pues asombrado pregunta
¿qué es esto?
Y...¿la revolución?

Lo primero: pinta un eje
¿Qué es un eje?
Cualquier recta, ¡es igual!
¿Sirve esta?
Pues sí, pero mejor en vertical
...
¿Y por qué en vertical?
(me encantan cuando preguntan
es lo que hacen al pensar)
...

Una figura queremos dibujar
aunque en un plano pintamos
a la vista vamos a engañar
y así en tres dimensiones
nos ponemos a pintar.
Y aunque vale cualquier eje
siempre nos gusta más
que la figura se apoye
y mantenga la vertical.

Vale mami! Ya está!
mi eje bien derechito
no lo muevo ya más.

Ahora pinta una recta
que al eje cortará.
Ese punto tiene nombre,
nuestro vértice será.
Y aquí viene lo difícil
pues te toca imaginar
alrededor del eje
esa recta ha de girar.

Al girarse deja un rastro,
copiándose a si misma
una, dos, tres...infinito,
de esta forma se dibuja
la figura que buscamos
y a la recta que genera
generatriz la llamamos,
y da igual que copia eligas
si la quieres tú nombrar
pues todas son válidas
para poder generar.

¿Qué tal? ¿Cómo vas?
Uy! mama! Qué difícil es
mil copias dibujar,
dos mil, tres mil y más
Imposible de pintar!

Pero nene!, no hace falta
que distingas las demás,
imagina todas juntas
¿Qué figura formarán?

A ver...déjame pensar...
pues nada, que no lo veo...
Un cilidro?, no, una esfera?

Fíjate bien!
fijo el vértice quedará
..mmm..
más fácil de ver:
imagina la mitad
y gira desde él
¿Qué ves?

¡Un cono!
¡Muy bien!
Y ahora todo junto...
Igual pero al revés.

Pues ya sabes con certeza
lo que has de dibujar
y aunque te ha costado un montón
la próxima vez que escuches
superficie cónica de revolución
seguro que de esta te acuerdas
con mucha satisfacción!


En geogebra:
3D cone por Daniel Mentrard
Página de Daniel Mentrard, con aplicaciones clasificadas.


Esta entrada participa en la Edición 4.1 del Carnaval de Matemáticas cuyo anfitrión es Tito Eliatron Dixit.